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2019-2020年高中数学 第三章《不等式》学案 北师大版必修5

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2019-2020 年高中数学 第三章《不等式》学案 北师大版必修 5
【知识网络】

实数比较大小 不等式的性质 不等式的证明

对称性 传递性
同加性 同乘性

比较法 综合法 分析法

常规方法 特殊方法

换元法

放缩法

判别式法法

反证法

解不等式

数学归纳法法

基本类型不 等式的解法

绝对值不等 式的性质

n 元均值不 等式



































































































1.1 不等式的性质

【考点透视】

一、考纲指要 1.理解不等式的性质及其证明.

二、命题落点

1.不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中,.如例 1,例 2

2.利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等

式研究变量的范围,求字母的取值或取值范围等..如练习 9.

【典例精析】

例 1 : 若则下列不等式不能成立的是( )

A.

B.

C.

D.

解析: 由 知 ab >0, 因此成立;

由 得 ?a ? ?b ? 0, 所以 a ? b ? 0成立;

由于是减函数, 所以亦成立,故一定不成立的是 B.

答案:B.

例 2:(xx?北京)设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是( )

A.a+c>b+d

B.a-c>b-d

C.ac>bd

D.

解析:∵a>b,c>d,∴a+c>b+D.

答案:A.

例 3:(xx?福建)不等式的解集是( )

A.

B.

C.

D.

解析:不等式的解是 x>或 x<.

答案:A.

【常见误区】

1.不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则,没有减法法则和除法法则,再利用数的

性质进行转化时往往出错;

2.在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1.(xx?北京)已知 a、b、c 满足,且,那么下列选项中不一定成立的是

A.

B.

C.

D.

()

2.(xx?湖北) 若,则下列不等式①;②③;④中,正确的不等式有

()

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

3.(xx?辽宁)对于,给出下列四个不等式

()









其中成立的是

A.①与③

B.①与④

C.②与③

D.②与④

4. 对“、、是不全相等的正数”,给出下列判断:

① (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? 0 ;

②>与<及≠中至少有一个成立;

③≠,≠,≠不能同时成立.其中判断正确的个数为

A.0 个

B.1 个

C.2 个

5.二次函数的部分对应值如下表:

() D.3 个

()

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式的解集是_________________.

6.若不等式有且只有一个解,则实数



7.比较大小:与(且).

8.已知 a ? b ? c,a ? b ? c ? 1,a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 , 求证.

9.定义在上的函数满足: 如果对任意 x1, x2∈R, 都有 ≤
则称函数 是上的凹函数.
已知二次函数 f (x) ? ax2 ? x?a ? R, a ? 0? 求证: 当时, 函数是凹函数.

1.2 算术平均数与几何平均数

【考点透视】
一、考纲指要 1.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简 单的应用. 二、命题落点 1.以二元均值不等式的考查最为常见,命题形式往往在选择题或填空题中,如例 1,例 2,例 3. 2.在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查,试题解法突出 常规方法,淡化特殊技巧,一般以求最值的形式来问如练习题 9.
【典例精析】

例 1:(xx?全国 1)当时,函数 f (x) ? 1 ? cos 2x ? 8sin 2 x 的最小值为( ) sin 2x

A.2

B.

C.4

D.

解析: f (x) ? 1? cos2x ? 8sin 2 x ? 2cos2 x ? 8sin 2 x ? cosx ? 4sin x

sin 2x

2sin x cosx sin x cosx

,当且仅当,即时,取“”,∵,∴存在使,这时,

答案:C.

例 2:(xx?福建) 下列结论正确的是( )

A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2

B.

lg x

C.的最小值为 2 D.当无最大值

解析:A 中 lgx 不满足大于零,C 中的最小值为 2 的 x 值取不到,D 当 x=2 时有最大值,选 B.

答案:B

例 3:(xx?重庆)若 是正数,则的最小值是( )

A.3

B.

C.4

D.

解析:

? ? ?

x

?

1 2y

?2 ? ?

?

? ??

y

?

1 2x

2
? ? ?

?

? 2?
?

x

?

1 2y

??

? ?

??

y

?

1 2x

? ??

? ?

x

?

?

1 2y

?

y

?

1 2x

当且仅当

? ?

x

?

?

1 2y

得时.

? ?y ?

?

1 2x

答案:C

【常见误区】

1.在运用均值不等式时,对等号成立的条件不注意往往出错;

2.不注意各种不等式成立的条件,误用公式,特别是非负性的考虑.

【基础演练】

1.(xx?陕西) 已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为

A.2

B.4

C.6

D.8

()

2.(xx?全国) a 2 ? b2 ? 1, b2 ? c 2 ? 2, c2 ? a 2 ? 2,则ab ? bc ? ca 的最小值为 ( )

A.-

B.-

C.--

D.+

3.已知函数的反函数为 f ?1(x), 若f ?1(a) ? f ?1(b) ? 4, 则的最小值为

()

A.1

B.

C.

D.

4.函数的最大值是

()

A.

B.

C.

D.

5.(xx 全国 3)已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、

BC 的距离乘积的最大值是

.

6.已知正数则满足不等式的实数的取值范围是 .

7.是否存在常数,使得不等式 x ? y ? c ? x ? y 对任意正实数 、恒成

2x ? y x ? 2y

x ? 2y 2x ? y

立?证明你的结论.

8.已知,且,求:

(1)的最小值;

(2)若直线与轴,轴分别交于,求面积的最小值.

9.在交通拥挤地段,为了确保交通安全,规定机动车相互之间的距离 d(米)与车速 v(千米/

小时)需遵循的关系是 d≥(其中 a(米)是车身长,a 为常量),同时规定 d≥.

(1)当 d=时,求机动车车速的变化范围;

(2)设机动车每小时流量 Q=,应规定怎样的车速,使机动车每小时流量 Q 最大?

1.3 不等式的证明

【考点透视】
一、考纲指要 1.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式; 2.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、命题落点
1.不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证
明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握,如例 1.
2.考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力,如例 2,例 3.
【典例精析】
例 1:(xx?江苏)已知函数满足下列条件:对任意的实数 x1,x2 都有
λ(x1 ? x2 ) 2 ? (x1 ? x2 )[ f (x1 ) ? f (x2 )]
和,其中是大于 0 的常数.设实数 a0,a,b 满足 和. (1)证明:,并且不存在,使得; (2)证明:; (3)证明:.
解析:(1)任取 ?(x1 ? x2 )2 ? (x1 ? x2 )[ f (x1 ) ? f (x2 )]

和 | f (x1) ? f (x2 ) |?| x1 ? x2 | ②

可知 ?(x1 ? x2 )2 ? (x1 ? x2 )[ f (x1 ) ? f (x2 )] ?| x1 ? x2 | ? | f (x1 ) ? f (x2 ) |?| x1 ? x2 |2 ,

从而 . 假设有 b0 ? a0 , 使得f (b0 ) ? 0,则由 ①式知

0 ? ?(a0 ? b0 )2 ? (a0 ? b0 )[ f (a0 ) ? f (b0 )] ? 0矛盾.

∴不存在

(2)由



可知 (b ? a0 )2 ? [a ? a0 ? ?f (a)]2 ? (a ? a0 )2 ? 2?(a ? a0 ) f (a) ? ?2[ f (a)]2 ④

由①式,得 (a ? a0 ) f (a) ? (a ? a0 )[ f (a) ? f (a0 )] ? ?(a ? a0 )2 ⑤

由和②式知,[ f (a)]2 ? [ f (a) ? f (a0 )]2 ? (a ? a0 )2 ⑥

由⑤、⑥代入④式,得 (b ? a0 )2 ? (a ? a0 )2 ? 2?2 (a ? a0 )2 ? ?2 (a ? a0 )2

(3)由③式可知[ f (b)]2 ? [ f (b) ? f (a) ? f (a)]2

? [ f (b) ? f (a)]2 ? 2 f (a)[ f (b) ? f (a)] ? [ f (a)]2

? (b ? a)2 ? 2 ? b ? a [ f (b) ? f (a)] ? [ f (a)]2 (用②式) ?

? ?2[ f (a)]2 ? 2 (b ? a)[ f (b) ? f (a)] ? [ f (a)]2 ?

? ?2[ f (a)2 ? 2 ? ? ? (b ? a)2 ? [ f (a)]2 ?

(用①式)

? ?2[ f (a)]2 ? 2?2[ f (a)]2 ?[ f (a)]2 ? (1? ?2 )[ f (a)]2.

例 2:(xx?北京) 设是定义在区间上的函数,且满足条件: ①

②对任意的 u, v ?[?1,1], 都有 | f (u) ? f (v) |?| u ? v | .

(1)证明:对任意的 x ?[?1,1], 都有x ?1 ? f (x) ? 1 ? x;

(2)证明:对任意的 u, v ?[?1,1], 都有 | f (u) ? f (v) |? 1;

(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得

???|

f (u) ?

f (v) |?| u ? v | .当u, v ?[0, 1 ]. 2

? ???|

f (u) ?

f (v) |?| u ? v |,当u, v ?[1 ,1]. 2

若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.
解析:(1)由题设条件可知,当时,有| f (x) ?| f (x) ? f (1) ?| x ?1|? 1? x,

(2)对任意的 u, v ?[?1,1],当| u ? v |? 1时,有 | f(u) - f(v) |?| u - v |? 1.
当不妨设则 所以,| f (u) ? f (v) |?| f (u) ? f (?1) | ? | f (v) ? f (1) |?| u ? 1| ? | v ?1|
? 1? u ?1? v ? 2 ? (v ? u) ? 1.
综上可知,对任意的都有 由(1)可得,当时,
当 x ?[?1, 0] 时,| f (x) |?| f (x) ? f (?1) ? 1? x ? 1? | x | .

所以,当 x ?[?1,1] 时,| f (x) ? 1? | x | . 因此,对任意的

当时,当 时,有 且 所以| f (u) ? f (v) |?| f (u) | ? | f (v) |? 1? | u | ?1? | v |? 2 ? (| u | ? | v) ? 1. 综上可知,对任意的都有
(3)满足所述条件的函数不存在.
理由如下,假设存在函数满足条件,则由| f (u) ? f (v) |?| u ? v |, u, v ?[1 ,1], 2
得 又所以①
又因为为奇数,所以由条件| f (u) ? f (v) |?| u ? v |, u, v ?[0, 1], 2
得 ② ①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.

? ? 例 3:正项数列满足 a1 ?1, nan2 ?

n ?1

anan?1

?

a2 n?1

?

0



(1)求及; (2) 试确定一个正整数 N, 使当时, 不等式

a1 ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? ? ?n ?1? an >成立;
(3)求证: (1+)<.

? ? 解析:(1) nan2 ?

n ?1

anan?1

?

a2 n?1

?

0 (-1)(+1)=0,

又∵ ,故=, , ==, =, =, …, = .
(2) 由==-(),

a1 ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? ? ?n ?1? an
=1+(-)+(-)+ … +(-)=2- 从而有 2->, ∴<, 即 n!>121. ∵5!=120, 6!=720, ∴n>5 取 N=5, n>N 时, 原不等式成立.

(3) (1+)展开式通项: T=C·()=··· … ··<(r=0, 1, 2, 3, …, n) (1+)<++++ … += .
【常见误区】

1.不注意挖掘隐含条件从而导致错误;

2.例用均值不等式时不注意非负性导致错误;

3.特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.

【基础演练】

1.若 a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则

A.R<P<Q

B.P<Q<R

C.Q<P<R

() D.P<R<Q

2.若 x>0,y>0,且恒成立,则 a 的最小值是

()

A.2

B.

3.已知则一定有

A.

C.2 () B.

D.1

C.

D.

4.已知 xy

?

1,0 9

?

x

?

y

? 1,u

?

log 1
3

x log1
3

y

,则

()

A.

B.

C.

D.

5.给出下列 3 个命题:①若,则;②若,则;③若

且,则,其中真命题的序号为______________.

6.已知两个正数满足,则使不等式≥恒成立的实数 m 的取值范围





7.(1)求证;

(2) 求证 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln n ? 1 ? 1 ? ? ? 1

23

n

2

n ?1

8.已知函数的最大值不大于,又当

(1)求 a 的值;

(2)设 0 ?

a1

?

1 2

,

an?1

?

f (an ),n ? N ? .证明an

?

1. n ?1

9.数列由下列条件确定:

x1

?

a

?

0, xn?1

?

1 2

? ?? xn ?

?

a xn

????, n ?

N?

(1)证明:对于, (2)证明:对于.

1.4 不等式的解法.

【考点透视】

一、考纲指要 1.掌握简单不等式的解法.

二、命题落点 1.主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的

转化方法;如例 1,例 2;

2.考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例 3.

【典例精析】

例 1:(xx?重庆)不等式组的解集为( )

A.

B.

C.

D.

解析:∵的解集为,的解集为

∴不等式的解集为

答案:C

例 2:(xx?辽宁)若,则 a 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

解析:法一:代特殊值验证

?0 ? 2a ? 1

法二:①当

? ?

1? a2

??log 2a 1 ? a

?

0

,即

???0 ? a ??1 ? a 2 ?? 1 ? a

?1 2 ?1

时,无解;

?2a ? 1

②当

? ?

1? a2

??log 2a 1 ? a

?

0

,即

???a ? ???0

? ?

1 2 1? a2 1? a

时,.
?1

答案:C.

例 3:(xx?江西)已知函数(a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4.

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)设,解关于 x 的不等式;.

解析:(1)将 x1

?

3, x2

?

4分别代入方程

x2 ax ? b

?

x ?12

?

0 ,得

?9

??3a ? b

? ?

16

??4a ? b

? ?

??98解得 ???ba

? ?

?1 ,

所以f

2

(x)

?

x2 2?x

(x

?

2).

(2)不等式即为 x2 ? (k ? 1)x ? k ,可化为 x2 ? (k ? 1)x ? k ? 0 ,

2?x 2?x

2?x



①当1 ? k ? 2,解集为x ? (1, k) ? (2,??).

②当 k ? 2时,不等式为(x ? 2)2 (x ?1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??);

③当k ? 2时,解集为x ? (1,2) ? (k,??) .

【常见误区】

1.解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误;

2.解含参数不等式时对字母讨论不全面.

【基础演练】

1.(xx?天津) 不等式的解集为

A.

B.

()

C.

D.

2.不等式的解集为则实数 a 的取值集合为 ( )

A.

B. {1 }

C. {a| a>1}

D.

3.(xx?辽宁)在R上定义运算:.若不等式对

任意实数 x 成立,则

A.

B.

C.

4.设函数 ,则使得的自变量的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

5.已知则不等式≤5 的解集是 .

() D.

6.(

xx?全国)设函数

f (x)

?

?1 ?? 2 ?? 1 ?? x

x ?1(x ? 0), 若f
(x ? 0).

(a)

?

a. 则实数 a 的取值范围是



7.实系数方程的一根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 求的 取值范围.
8.解关于 x 的不等式<0(a∈R).

9.记函数 f(x)=的定义域为 A, g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. (1)求 A; (2)若 BA, 求实数 a 的取值范围.
1.5 含有绝对值的不等式

【考点透视】
一、考纲指要 1.掌握绝对值不等式的概念及其性质. 2.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│. 二、命题落点 1.含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中;如例 1,例 2;
2.证明主要出现在解答题中对能力要求较高.如例 3.
【典例精析】
例 1: (xx?辽宁) 设全集 U=R 解关于 x 的不等式.

解析: 由| x ?1| ?a ?1 ? 0得 | x ?1 |? 1? a.
当时,解集是 R; 当时,解集是 例 2:(xx?山东),下列不等式一定成立的是( )
A. log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a) ? 2

B. log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a)

C. log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a)

D. log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a) ? log(1?a) (1? a) 解析:∵ 0<a<1,∴ 1+a>1,0<1-a<1, log(1?a) (1? a) ? 0, log(1?a) (1? a) ? 0 ,



log(1?a) (1? a)

?

log(1?a) (1?

a)

?

?[lg(1? a) lg(1? a)

?

lg(1? a)] lg(1? a)

?

2.

答案: A.
例 3:(xx?浙江)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2=2x.
(1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.
解析:(1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(xq,yq 关于原点的对称点(x,y),



? ?? ? ? ??

xq yq

? 2 ? 2

x y

? ?

0 0,

即∵点

在函数的图象上,

∴ 故. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|,可得 2x2-|x-1|≤0. 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解; 当 x<1 时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤. 因此,原不等式的解集为[-1,].

【常见误区】

1.运用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│时出现错误;

2.对绝对值的意义理解有误,分类不全面导致错误.

【基础演练】

1.不等式的解集是

A.

B.

C.

D.

2.不等式的解集是

A.

B.

C.

D.

3.若不等式的解集为(-1,2),则实数 a 等于

A.8

B.2

C.-4

4.若,∈R,则不等式≥的解集为 R 的充要条件是

() ()
D.-8 ()

()

A.

B.

5.不等式|x+2|≥|x|的解集是

6.不等式的解集

.

7.解不等式.

C.且≤ D.且≥ .

8.设且求证: 1? a2 ? 1? b2 ? a ? b

9.某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站.在实际运行中, 假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度匀速行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求的取值范围.
1.6 不等式的应用

【考点透视】
一、考纲指要 1.考查运用不等式在几何、函数,以及实际生活中的运用

二、命题落点 1.常结合函数、数列考查不等式的运用,特别是均值不等式的运用如例 1,例 2,例 3.
【典例精析】
例 1:(xx?广西卷)某村计划建造一个室内面积为 800 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右 两侧与后侧内墙各保留 1 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多 少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?
解析:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800. 蔬菜的种植面积
S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808 ? 2(a ? 2b).

所以 S ? 808 ? 4 2ab ? 648 (m2 ).

当 a ? 2b,即a ? 40(m),b ? 20(m)时, S最大值 ? 648(m2 ).
答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植 面积最大,最大种植面积为 648m2.
例 2:(xx?上海)某单位用木料制作如图 5-6-1 所示的框架, 框架的 下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求 框架围成的总面积 8m2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?

图 5-6-1

解析:由题意得 xy+x2=8,

8? x2 ∴y= 4 =(0<x<4).
x

于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+≥=4. 当(+)x=,即 x=8-4 时等号成立. 此时, x≈2.343,y=2≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省.
例 3:某厂家拟在 xx 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产 量)x 万件与年促销费用 m 万元()(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只 能是 1 万件。已知 xx 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投 入和再投入两部分资金).
(1)将 xx 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 xx 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

解析:(1)由题意可知当 m ? 0时, x ? 1(万件), 每件产品的销售价格为,

?1 ? 3 ? k ? k ? 2,? x ? 3 ? 2 , m ?1

∴xx 年的利润 y ? x ?[1.5? 8 ?16x] ? (8 ?16x ? m) ? 4 ? 8x ? m ? 4 ? 8(3 ? 2 ) ? m

x

m ?1

? ?[ 16 ? (m ?1)] ? 29 (m ? 0) . m ?1

(2)? m ? 0时, 16 ? (m ?1) ? 2 16 ? 8, m ?1

?

y

?

?8

?

29

?

21,当且仅当 16 m ?1

?

m

?1?

m

?

3(万元)时,

ymax

?

21 (万元)



【常见误区】

1.不能正确建立函数模型从而导致错误;

2.对实际情况考虑不够会产生多解或漏解

【基础演练】

1.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的 130 网,经调查其收 费

标准见下表:(注:本地话费以分为计费单位,长途话费以秒为计费单位.)

网络

月租费 本地话费

长途话费

甲:联通 130

12 元

0.36 元/分 0.06 元/秒

乙:移动“神州

0.60 元/分 0.07 元/秒

行”

若王先生每月拨打本地电的时间是拨打长途电话时间的 5 倍,若要用联通 130 应最少打多

长时间的电话才合算

()

A.300 秒

B.400 秒

C.500 秒

D.600 秒

2.一批物品要用 11 辆汽车从甲地运到 360 外的乙地.若车速为/时,且车的距离不能少于,

则运完这批物品至少需要

()

A.11 小时

B.10 小时

C.13 小时

D.12 小时

3.现有一块长轴为 10 分米,短轴长为 8 分米的椭圆形玻璃镜子,欲从此镜子中划出一块面

积尽可能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为

()

A.10 平方分米

B. 20 平方分米 C. 40 平方分米 D. 平方分米

4.一种容积规定为 500 的圆柱形罐头盒,要使制造罐头盒所用的金属薄板材料最少,这种圆

柱的高和半径的比应为

()

A.1∶1

B. 2∶1

C.3∶1

D.3∶2

5.用一张边长为 30 的正方形纸在它的四个角上剪去一个同样大小的正方形不用,做一个无

盖的长方体纸盒,(剪贴处的厚度和损耗不计)则这个纸盒体积的最大值是

.

6.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为 2 的倒置的正四棱锥形有盖容器,设容器高为,

盖子边长为.记容器的容积为,当=

m 时,

有最大



7.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、

保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机

床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元.

(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式;

(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);

(3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:

(i)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床;

(ii)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?

请说明你的理由.

8.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员

(140<<420,且为偶数),每人每年可创利万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每.裁.

员.1 人,则留岗职员每.人.每.年.多创利万元,但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费,

并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁

员多少人?

9.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度

l

a 成正比,与它的厚度 d 的平方成正比,与它的长度 l 的平

方成反比.

(1)枕木翻转 90°(即宽度变为了厚度),枕木的安全负 d



a

变大吗?为什么?

(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为 R)的木材,

用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全

负荷最大?

本章测试题

一、选择题:(本题每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知实数、、满足,,则、、的大小关系是

A.≥>

B.>≥

C.>>

2.若 0<a<b 且 a+b=1,则四个数,b,2ab,a2+b2 中最大的是

A.

B.b

C.2ab

D.>> D.a2+b2

() ()

3.不等式的解集为

()

A.

B.

C.

D.

4.设实数满足, 则的最小值为

()

A.

B.4

C.2

D.8

5.若不等式的解集为,则

()

A.-10

B. -14

C. 10

D. 14

6.关于 x 的方程 9x+(a+4)·3x+4=0 有解,则实数 a 的取值范围是

A.(-∞,-8)∪[0,+∞]

B.(-∞,-4)

()

C.[-8,4]

D.(-∞,-8)

7.若,则函数 A.有最大值—6

B.有最小值 6

C.有最大值—2

() D.有最小值 2

8.不等式的解集是

A.

B.

C.

() D.

9.已知,(a>2),则

()

A.p>q

B.p<q

10.设适合不等式,若,,,且,则(

A.

B.

C.

D.

C.p≥q )

D.p≤q

11.若不等式 ?a ? 2? x2 ? 2?a ? 2? x ? 4 ? 0 对任意实数均成立,则实数的取值范围是

()

A.

B.

C.

D.

12.已知定义在上的函数满足下列三个条件:①对任意的都有;②对于任意的 0≤≤2,都有;③

的图象关于 y 轴对称,则下列结论中,正确的是

()

A.

B.

C.

D.

二、填空题:(本题每小题4分,共16分.)

13.若不等式的解集为或,则

.

14.已知集合 A ? {(x, y) | y ? 3 ? 2 , x、y ? R} , B ? {(x, y) | 4x ? ay ? 16 , x、y ? R} ,若,则实数的 x ?1

值为

.

15.已知正数满足,则最大值是

.

16.已知 a、b、c 为某一直角三角形的三条边长,C 为斜边,若点在直线 上,则的最小值



.

三、解答题:(本题共74分)

17.(本小题满分 12 分)已知 a、b 为不等式的正数,且,试将四个数按从小到大的顺序排列,

并证明你的结论.

18.(本小题满分 12 分)已知 .

(1)若,求的最小值;

(2)若不等式 (1 ? x ) ? f ?1 (x) ? m ? (m ? x ) 对于一切 恒成立,求实数

的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知 a≠0,求证:≥

20.(本小题满分12分)(理)已知函数

f

(x)

?

log a

x?3, x?3

(a

?

0且 a

? 1).

(1)判定f(x)的单调性,并证明;

(2)设g(x)=1+loga(x -1),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围;

(3)求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4,6]上的最大值和最小值.

21.(本小题满分 12 分)某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10

元,固定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本),并计划以后每年比

上一年多投入 100 万元(科技成本),预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入后,每只产

品的固定成本为(,为常数,且≥0),若产品销售价保持不变,第次投入后的年利润为万

元.

(1)求的值,并求出的表达式;

(2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

22.(本小题满分 14 分)△的三个内角、、的对边的长分别为、、,有下列两个条件:(1)、、成

等差数列;(2)、、成等比数列.

现给出三个结论:

(1);

(2);

(3).

请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件,三个结论中的两个为结论,组建一个你

认为正确的命题,并证明之.

参考答案
1.1 不等式的性质 1.C 2. B 3. D.4. C 5. 6. . 7.因为且.若,则,所以;若,则,也有.因此.

8.由 ?a ? b ? c?2 ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? 3, 得由知至少有∴.又∵, ∴ ∴ .

9.因为 f ( x1 ? x 2 ) ? a( x1 ? x 2 )2 ? ( x1 ? x 2 ),

2

2

2

1 [f 2

(x1)

?

f

(x 2

)]

?

1 2

[ax12

?

x1

?

ax

2 2

?

x2],

所以,作差得到

f

( x1

? 2

x2

)

?

1[ 2

f

(x1) ?

f

(x2 )]

?

a(

x1

? 2

x2

)2

?

(

x1

? 2

x2

)

?

1 2

a( x12

?

x22

)

?

1 2

(

x1

?

x2

)

?

a( x1

? x2 )2 2

?

1 2

a( x12

?

x22 )

?

a( x12

? 2x1x2 4

?

x22

?

2 x12

? 2x22 ) 4

? a ?x12 ? 2x1x2 ? x22 ? ?a( x1 ? x2 )2 ? 0 ,

4

2

即有

f

( x1

? x2 2

)

?

1[ 2

f

(x1) ?

f

(x2 )],

故知函数为凹函数.

1.2 算术平均数与几何平均数

1. B 2. B 3. B 4.A 5. 3 6. 7. 当时,由已知不等式得.下面分两部分给出证明:
⑴先证,此不等式
3x(x ? 2y) ? 3y(2x ? y) ? 2(2x ? y)(x ? 2y)
,此式显然成立; ⑵再证,此不等式

3x(2x ? y) ? 3y(x ? 2y) ? 2(x ? 2y)(2x ? y)

,此式显然成立. 综上可知,存在常数,是对任意的整数题中的不等式成立. 8. (1);(2).
9. (1) 由≥av2, 得 0<≤25.

(2) 当≤25 时, Q= 1000v , Q 是 v 的一次函数,=25,Q 最大为,当>25 时, Q= 1000 ≤,

3a

a(1 ? v )

2

v 25000

∴当=50 时 Q 最大为. 1.3 不等式的证明

1. B 2. C 3. D 4. B 5. ② 6.

7. (1)令, 由 知, .于是,原不等式等价于.一方面,令 , 则有,当 ,有 从而

可以知道,函数在上是递增函数,所以有,即得 . 另一面,令 ,则有 ,当时,

有,从而可以知道,函数在上是递增函数,所以有 ,即得.

综上可知



(2)联系不等式(1)和(2),就会发现,令 时,不等式 也成立,于是代入,将所得各

不等式相加,得

1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ?? lg n ? 1? 1 ? ? ? 1

23

n 12

n ?1 2

n ?1

即 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln n ? 1? 1 ? ? ? 1

23

n

2

n ?1

8 .( 1 ) 由 于 的 最 大 值 不 大 于 所 以 f ( a ) ? a 2 ? 1 ,即a 2 ? 1. 3 66

① 又所以

? ?? ? ? ??

f f

(1) 2 (1) 4

? ?

1 8 1 8

,即????

,

? ??

a 2 a 4

? ?

3 ? 1, 88 3 ?1 32 8

解得a .

?

1.



由①②得

(2)(i)当 n=1 时,,不等式成立;



f (x)

?

0,

x

?

(0,

2 3

),

所以0

?

a2

?

f (a1) ?

1 6

?

1 ,故n 3

?

2 时不等式也成立.

(ii)假设时,不等式成立,

因为的对称轴为知为增函数,

所以由得

于是有

0

?

ak ?1

?

1? k ?1

3 2

?

(k

1 ? 1)2

?

k

1 ?

2

?

k

1 ?

2

?

k

1 ?

2

?

2(k

k?4 ? 1)2 (k

? 2)

?

k

1, ?2

所以当时,不等式也成立. 根据(i)(ii)可知,对任何,不等式成立.

9.

(1) x1

? a ? 0及xn?1

?

1 2 (xn

?

a xn

)知xn

? 0,从而xn?1

?

1 2 (xn

?

a)? xn

xn

?

a xn

?

a(n ? N?)

2)当时, xn ?

a

? 0, xn?1

?

1 2 (xn

?

a xn

),? xn?1

? xn

?

1a (
2 xn

? xn )

=

1? 2

a ? xn2 xn

?

0.?n

?

2时, xn

?

xn

成立
?1

1.4 不等式的解法 1. A 2. A 3. C 4. A

5. 6. .

7. 设方程的两个根为由根与系数关系的得

依题意得

?1 ? ?a ??0 ? 2b

? ?

3 2

?

??2 ? ??

?1?

a

?

4

?

1? 4 1?

1 1? a 2?b

? ?

1 2 2

?

1 4

?

2?b 1? a

? 1.

8. 原式(x-a)(x-a2)<0,∴x1=a,x2=a2. 当 a=a2 时,a=0 或 a=1,x∈,当 a<a2 时,a>1 或 a<0,a<x<a2, 当 a>a2 时 0<a<1,a2<x<a,

∴当 a<0 时 a<x<a2,当 0<a<1 时,a2<x<a,当 a>1 时,a<x<a2,当 a=0 或 a=1 时,

x∈.

9. (1)2-≥0, 得≥0, x<-1 或 x≥1

即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞)

(2) 由 (x - a - 1)(2a - x)>0, 得 (x - a - 1)(x - 2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,

∴B=(2a,a+1).∵BA, ∴2 a≥1 或 a +1≤-1, 即 a≥或 a≤-2, 而 a <1,∴≤a <1 或 a≤

-2, 故当 BA 时, 实数 a 的取值范围是 (-∞,-2)∪[,1].

1.5 含有绝对值的不等式

1. D2. D3. C4. D 5. {x|x≥-1} 6. 7. 原不等式
?2x ?1 ? 0, 因为 2x ?1 ? x ? 2 ? 2x ?1 ? x ? 2 ? ??x ? 2 ? 0,
??2x ?1 ? (x ? 2)2



2x

?1

?

x

?

?2

?

?2x ?1 ? 0, ??x ? 2 ? 0,
??2x ?1 ? (x

?

2)

2

或???2x

x ?1 ? 0, ?2?0

?

?x ? 2, ??x2 ? 6x

?

5

?

或 0

1 2

?

x

?

2

?

?x ? 2, ??1 ? x ?

或 5

1 2

?

x

?

2

?

2

?

x

?

5或

1 2

?

x

?

2

.

所以,原不等式组的解集为 8.

?

a2 ? b2

a2 ? b2 ?

1? a2 ? 1? b2 1? a2 ? 1? b2

a?b a?b a?b a?b

?

?

a?b

a?b

? a?b

9. (1)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是和. (2)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,所以 . (*) 当时,(*)式变形为, 解得 ; 当时,(*)式变形为, 解得 ; 当时,(*)式变形为,

解得.综上所述,的取值范围是[39,].

1.6 不等式的应用

1. B 2. D 3. C 4. B. 5. xx 6. ;

7. (1) y ? 50x ? [12x ? x(x ?1) ? 4] ? 98 =. 2

(2)解不等式 >0,得

<<.

∵ , ∴ 3 ≤≤ 17.故从第 3 年工厂开始盈利.

(3)(i) ∵ y ? ?2x ? 40 ? 98 ? 40 ? (2x ? 98)≤40

x

x

x

当且仅当时,即 x=7 时,等号成立.

∴ 到 xx 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.

(ii)

y ? ?2x2 ? 40x ? 98 ? ?2? x ?10?2 ?102 ,=10 时,

故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂共获利 102+12=114 万元. 8. 设裁员人,可获得的经济效益为万元,则
y ? (2a ? x)(b ? 0.01bx) ? 0.4bx = ? b [x2 ? 2(a ? 70)x] ? 2ab 100
依题意 ≥,∴0<≤.又 140<<420, 70<<210. (1)当 0<≤,即 70<≤140 时, , 取到最大值; (2)当>,即 140<<210 时, , 取到最大值; 综上所述,当 70<≤140 时,应裁员人;当 140<<210 时,应裁员人.
9. (1)安全负荷为正常数) 翻转

?

y1 y2

?

d ,?当0 ? d a

?

a时, y1

?

y2 ,安全负荷变大.…4 分当

,安全负荷变小.

(2)如图,设截取的宽为 a,高为 d,则 ( a )2 ? d 2 ? R2 ,即a2 ? 4d 2 ? 4R2 . 2
∵枕木长度不变,∴u=ad2 最大时,安全负荷最大.

u ? d 2 a2 ? d 2 4R2 ? 4d 2 ? 2 d 4 (R2 ? d 2 )

4

d 2 ? d 2 ?(R2 ? d 2) ? 4

?d2

? ?

2

?

d2 2

? (R2

?

d

2

)

? ?

3

?

22

?

3

?

??

??

,当且仅当,即取,

取时,u 最大, 即安全负荷最大.

本章测试题

一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B 11. A 12.B
二、填空题 13. -2; 14.-2; 15. 1 16. 4
三、解答题

17.b ? 3 ? a ? 3 ? 3 ? ? 3 ?1( 3 ? a) .

a ?1

a ?1

(1)当时,得,且, 此时.
(2)当时,,得且, 此时.
(3)当时,与题设矛盾. 18. (1)∵ ,

∴ g(x) ? 1? x ? x ? 2 ? 2 ?1? x ? 2 2 ,等号当且仅当,

1? x

1? x

即时取得.∴的最小值为.

(2)不等式即为,也就是,

令,则 F (u) ? (1 ? m)u ? (1 ? m2 ) ? 0 在上恒成立,

∴,解得.

19. 当|a|≤|b|时,不等式显然成立.当|a|>|b|时,

左=≥ | a ? b || a ? b | ?

1



|a ?b|?|a ?b|

1?1

|a ?b| |a ?b|

=.

20.(1) 由或x>3,任取x1<x2<-3,



f (x1 ) ?

f (x2 )

?

log a

x1 x1

?3 ?3

? log a

x2 x2

?3 ?3

?

log a

( x1 ( x1

? 3)( x2 ? 3)( x2

? 3) , ? 3)

∵ (x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=10(x1-x2)<0,又 (x1-3)(x2+3)>0 且(x1+3)(x2-3)>0

,∴ 当a>1时,f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增,当0<a<1时,f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)单

调递减.

(2)若f(x)=g(x)有实根,即: log a

x x

? ?

3 3

?

1

?

log

a

(x

? 1)

.∴

? ?

x

?

3

?

0

?x ? 3

??x ?1 ? 0

? x ? 3.

∴ 即方程:有大于3的实根.

a ? x?3 ?

x?3

(∵ x>3)

(x ?1)( x ? 3) (x ? 3 ? 2)(x ? 3 ? 6)

?

x?3

?

1

? 1 ? 2? 3.

(x ? 3)2 ? 8(x ? 3) ?12 (x ? 3) ? 12 ? 8 8 ? 4 3

4

(x ? 3)

“=”当且仅当x-3=即下=3+2时成立,∴a∈(0,) (3) h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-,(x)=,由=0 有 x2-3x-4=0,解得 x1=4;x2=-1(舍 去).当 x∈[4,6]时,h!(x)<0,h(x)单调递减;所以函数 h(x)在[4,6]上的最小值为 h(6)=ln3-4,最大值为 h(4)=-2. 21.(1)由,当时,由题意,可得,
8 所以 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ? n?1 ) ? 100n .

(2)由 f (n)?(100?10 n)(10 ?

8 ) ?100 n?1 000 ?80( n?10)

n?1

n?1

? 1 000 ? 80( n?1 ? 9 ) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520 .
n?1

当且仅当,即时取等号,所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元.

22. 可以组建如下命题:

命题一:△中,若、、成等差数列,求证:(1)0<B≤;(2);

命题二:△中,若、、成等差数列,求证:(1)0<B≤;

(2)1<≤

命题三:△中,若、、成等差数列,求证:(1);

(2)1<≤

命题四:△中,若、、成等比数列,

求证:(1)0<B≤;

(2)1<≤ .

证明:(1)∵,,成等差数列∴b=.

∴ cos B

?

a2 ?c2 ?b2

?

a2

?c2

?(

a?c 2

)2

?

3(a2 ?c2 )?2ac

≥,

2ac

2ac

8ac

且∴0<≤;

(2) a cos2 C ?c cos2 A?a1?cosC ?c1?cos A?a?c ? a cosC?c cos A?a?c ?b ?3b ;

2

2

2

22

2

2 22

(3) 1?sin 2B ?(cos B?sin B)2 ?cos B?sin B? 2 cos(B?? ) .

cos B?sin B cos B?sin B

4

∵0<B≤ ,∴, ∴, ∴.

(4)∵、、成等比数列,∴,∴ cos B? a2 ?c2 ?b2 ? a2 ?c2 ?ac ? 2ac?ac ?1 且,∴0<≤ .

2ac

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2019-2020 年高中数学 第三节 数学算法及算法的三种基本逻辑结构教案

新人教 B 版

算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算数学的重要基础。随着现代信息技术的飞 速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的各个 方面。
所谓算法是指在有限步骤内求解某类问题所使用的一组定义明确的规则。需要特别指出 的是,我国古代数学中蕴含了丰富的数学思想,比如二分法、秦九韶算法、割圆术、求两个 数的最大公约数等。算法重在用一个统一的方法有步骤地解决一类问题,但它不是唯一的, 一个好的算法应该用较少的便于实现的步骤去有效的解决问题。把算法引入高中数学教学, 有利于培养学生的逻辑思维能力,概括问题能力,养成良好的思维和学习习惯,必将对高中 数学教学产生深远影响。
一般算法有顺序结构、条件分支结构、循环结构三种基本逻辑结构。

1. 顺序结构。顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到 下的顺序进行的。它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它也是任何一个算法都离不开 的一种算法结构,如图,其中 A 和 B 两个框是依次执行的,只有在执行完 A 框所指定的操作 后,才能接着执行 B 框所指定的操作。顺序结构的一个简单的例子是交换变量 a 和 b 的值。
算法如下: S1:m=a; S2:a=b; S1:b=m.
程序框图如图:
2.条件分支结构。在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断、算法的流程根据条件是 否成立有不同的流向,这种先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构称为条件分 支结构,如右图所示的一个条件分支结构,此结构中包含一个判断框,根据给定的条件 P 是 否成立而选择执行 A 框或 B 框,请注意,无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一, 不可能既执行 A 框又执行 B 框,也不可能 A 框和 B 框都不执行。无论走哪一条路径,在执行 完 A 框或 B 框之后,脱离本条件分支结构。A 框或 B 框两个框中,可以有一个是空的,即不执 行任何操作。

举一个简单的例子:写出求方程 px+q=0(其中 p 和 q 为常数)根一个算法,并画出程序 框图。
分析:此方程的根与 p 和 q 取值有关。算法如下: S1:输入 p、q S2:如果 p≠0,则使 x=-q/p,并执行 S3;否则,执行 S4; S3:输出 x; S4:如果 q≠0,则输出“方程无实数根”,否则,输出“方程的解是全体实数”。 该算法对应的程序框如下图:
编写电信部门收取话费的程序,出租车司机收取客人行车费的程序等都需要用到条件分 支结构。
3.循环结构。需要重复执行同一操作的结构称为循环结构,即从某处开始,按照一定条 件反复执行某一处理步骤,反复执行的处理步骤称为循环体。循环结构中通常都有一个起循 环计数作用的变量,这个变量的取值一般都包含在执行或终止循环的条件中。循环结构有

while 型循环(也称当型循环)和 until 型循环(也称直到型循环)两种,要注意这两种循环 的联系和区别。例如:作出计算 1+3+5+…+n 的程序框图:
这三种基本结构的共同特点是: (1) 只有一个入口和出口
(2)结构内的每一部分都有机会被执行到,也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口 到出口的路径通过它,如图中的 A,没有一条从入口到出口的路径通过它,就是不符合要求的 算法结构。
(3)结构内不存在死循环,即无终止的循环,像右图就是一个死循环,在流程图中是不允 许死循环出现的。 以上是我通过学习和讲授算法一章对算法知识的一点认识,算法的学习还可以渗透到高中数

学的各个章节中,比如二分法,错位相减法求和,还贷问题,一元二次不等式解法等。总之, 只要多留心,多思考,算法不但并不可怕,还将成为我们数学教学的一个有力的工具。



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