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江苏省南京师大附中2015届高三12月段考数学试题 Word版含答案

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江苏南京师大附中 2015 届高三 12 月段考试卷 数学 2014.12.30 注意事项: 本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上 . ........ 1.在复*面内,复数-3+i 和 1-i 对应的点间的距离为 ▲ . 2.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正方形内切圆的 *朐(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ . 3.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下: 花期(天) 个数 11~13 20 14~16 40 ▲ 17~19 30 天. 20~22 10 则这种花卉的*均花期为 π π 5π 3 - , ?,则 cos?α+ ?= 4.若 sin α= ,α∈? 2 2 4? ? ? ? 5 ▲ . 5.直线 xcos α+ 3y+2=0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ . 6.设函数 f(x)是奇函数且周期为 3,f(-1)=-1, 则 f(2014)= ▲ 7.阅读右面的程序框图,运行相应的程序, 则输出 i 的值为 ▲ . 8 .若等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ,*面内一点 M 满足 1 2 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB = 6 3 ▲ . 9.有下面四个判断: ①命题“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题; ③命题“? a、b∈R,a2+b2≥2(a-b-1)”的否定是“? a、b∈R,a2+b2≤2(a-b-1)”; 2 ④若函数 f(x)=ln?a+x+1?的图象关于原点对称,则 a=3. ? ? 其中正确的有 ▲ 个. x2 y2 10.若双曲线 2- =1 的一条渐*线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则该双曲线的实 a 3 轴长为 ▲ . 1 1 1 3 5 11.设 n 为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观察 2 3 n 2 2 上述结果,可推测一般的结论为 ▲ . 12.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ▲ . 13.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值 为 ▲ . 14.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x· y)=xf(y)+yf(x) 成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2.则数列的通项公式 an= ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答卷纸指定区域内 作答,解答时应写出文字说 ........ 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 1 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 b2= ac. 2 3 (1)求证:cos B≥ ; 4 (2)若 cos(A-C)+cos B=1,求角 B 的大小. 16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知∠ACB=90° ,BC=CC1,E,F 分别为 AB,AA1 的中点. (1)求证:直线 EF∥*面 BC1A1; (2)求证:EF⊥B1C. 17.(本小题满分 14 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,日旅游人数 f (t ) (万人 )与 .. 时间 t (天)的函数关系*似满足 f (t ) ? 4 ? ,人均消费 g (t ) (元 )与时间 t (天)的函数 . 关系*似满足 g (t ) ? 115? | t ? 15 | . (Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t ) (万元 )与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; .. (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元 ) . .. 1 t 18.(本小题满分 16 分) x2 y2 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C: + =1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 16 15 (1)求抛物线 D 的方程; (2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点. ① 若直线 l 的斜率为 1,求 MN 的长; ② 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值?如 果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x(a ? R). x (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2) 若 f ( x ) 有两个极值点 x1和x2 , 记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , 问: 是否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 16 分) 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ( n ? N*) ,若存在实常数 A , B , C ,对于任意正整数 n , 都有 an ? Sn ? An 2 ? Bn ? C 成立. (1)已知 A ? B ? 0 , a1 ? 0 ,求证:数列 ?an ? ( n ? N*)是等比数列; (2)已知数列 ?an ? ( n ? N*)是等差数列,求证: 3 A ? C ? B ; (3)已知 a1 ? 1 , B ? 0 且 B ? 1 , B



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